分解质因数是将一个正整数分解为若干个质数的乘积的过程。每个质数都是一个素数,即只能被1和自身整除的数。

分解质因数的一般方法是通过试除法(Trial Division)来进行。该方法的基本思想是从最小的质数开始,逐个尝试将待分解的整数进行整除。如果整数能够整除某个质数,则将该质数作为其中一个因子,并将被整除后的结果继续分解。重复这个过程,直到无法再整除为止。

具体步骤如下:

  1. 从最小的质数2开始,尝试将待分解的整数进行整除。
  2. 如果整数能够整除当前的质数,则该质数是其中一个因子。将整数除以该质数,并记录下这个质数。
  3. 继续用相同的质数尝试整除整数,直到无法整除为止。
  4. 如果无法整除了,将当前质数加一,然后重复步骤2和3,直到待分解的整数等于1为止。

最终,得到的所有质数就是待分解整数的所有质因数。

实现

下面是试除法的一个简单实现,借助了标准库中的math/big中的big.Int类型,以及它的一些常用方法:

  1. SetInt64(int64):将一个int64类型的整数转换为big.Int类型。
  2. Mul(x, y *big.Int) *big.Int:将两个big.Int类型的整数相乘。
  3. Cmp(y *big.Int) int:比较两个big.Int类型的整数大小,返回-1表示小于,0表示等于,1表示大于。
  4. Mod(x, y, m *big.Int) *big.Int:计算x除以y的余数,并将结果存储在m中。
  5. Add(x, y *big.Int) *big.Int:将两个big.Int类型的整数相加。
  6. Div(x, y, m *big.Int) *big.Int:计算x除以y的商,并将结果存储在m中。
  7. NewInt(int64) *big.Int:创建一个新的big.Int类型的整数。
  8. Sign() int:返回big.Int类型整数的符号,-1表示负数,0表示零,1表示正数。
  9. Set(x *big.Int) *big.Int:将一个big.Int类型的整数赋值给另一个big.Int类型的整数。
package main

import (
	"fmt"
	"math/big"
)

// primeFactors 函数用于计算给定大整数 n 的所有质因数,并将它们存储在一个切片中返回。
func primeFactors(n *big.Int) []*big.Int {
	factors := []*big.Int{} // 用于存储质因数的切片

	// 从最小素数 2 开始,逐渐递增检查直到 p*p 大于 n
	p := big.NewInt(2)
	for new(big.Int).Mul(p, p).Cmp(n) <= 0 {
		// 如果 n 能整除 p,则 p 是 n 的一个质因数
		if n.Mod(n, p).Sign() == 0 {
			// 计算 p 的最大幂,同时更新 n
			exp := big.NewInt(0)
			for n.Mod(n, p).Sign() == 0 {
				n.Div(n, p)
				exp.Add(exp, big.NewInt(1))
			}

			// 将 p 的最大幂添加到因子列表中
			for i := 0; i < exp.Int64(); i++ {
				factors = append(factors, new(big.Int).Set(p))
			}
		}
		p.Add(p, big.NewInt(1)) // 尝试下一个素数
	}

	// 如果 n 是一个大于 1 的素数,则 n 是一个质因数
	if n.Cmp(big.NewInt(1)) > 0 {
		factors = append(factors, n)
	}

	return factors // 返回计算得到的质因数切片
}

func main() {
	// 创建大整数 n
	n := new(big.Int).SetInt64(1041601901437367792339)

	// 调用 primeFactors 函数计算 n 的所有质因数
	factors := primeFactors(n)

	// 打印 n 的所有质因数
	fmt.Printf("Prime factors of %d are: ", n)
	for _, factor := range factors {
		fmt.Printf("%d ", factor)
	}
	fmt.Println()
}

孟斯特

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